El Teorema Fundamental del Algebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalua a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creibles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a continuación uno de estos argumentos.
Consideremos entonces un polinomio
P(z) cualquiera de grado
n. Luego, su
n-ésimo coeficiente
Pn no puede ser igual a
0. Si
P(0)=0, estarímos listos pues tendríamos que
0 es una raíz de
P. Supondremos entonces que se tiene el caso no trivial, es decir, que
P(0) no es
0. Notar que esto significa que
P0 es distinto de
0, puesto que
P(0)=P0.
Sea
Cr al conjunto de números complejos de módulo
r, i.e.,
Cr= { z : |z|=r }. Geométricamente dichos números están ubicados en un círculo de radio
r en torno al origen del plano complejo. Por ejemplo, si
r=1, entonces
Cr es:
Sea además
P(Cr) la imágen a través de
P de
Cr, i.e.,
P(Cr)={ P(z) : |z|=r }. Observar que
P(Cr) es una curva cerrada. ¿Porqué? Observar también que si
r es suficientemente pequeño (cuán pequeño dependerá de los valores de los coeficientes del polinomio
P), entonces todo elemento de
P(Cr) estará muy cerca de
P0 en el plano complejo y el origen del plano complejo estará en el
"exterior" de la curva
P(Cr). ¿Porqué? Por ejemplo, si
P(z)=(2+2I)-1.5*·z+2I·z2+I·z3 y
r=0.75, entonces
P(Cr) es:
Por el contrario, si
R es suficientemente grande (nuevamente, cuán grande dependerá de los valores de los coeficientes del polinomio
P), entonces
P(CR) se parecerá a
n círculos del plano complejo centrados en
P0 y el origen del plano complejo estará en el
"interior" de
P(CR). ¿Porqué? Por ejemplo, si
P(z)=(2+2I)-1.5*·z+2I·z2+I·z3 y
R=8.0, entonces
P(CR) es:
Si hacemos que µ varíe entre
r y
R en forma contínua y estamos dispuestos a aceptar que en dicho caso
P(Cµ) varía en forma contínua desde
P(Cr) a
P(CR), tendremos que el origen pasa de estar al
"exterior" de la curva inicial al
"interior"de la curva final --- necesariamente en alguno de los valores intermedios de µ, tiene que suceder que
P(Cµ) pasa sobre el origen, i.e., existe un valor de
z para el cual el polinomio
P(z) se anula o lo que es lo mismo,
P(z) posee una raíz. Se concluye que el TFA aplica a
P(z) como queríamos comprobar.
Cita:
http://www.ugr.es/~eaznar/FTA.htm
http://www.dim.uchile.cl/~mkiwi/applets/tfa/
http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&cts=1331633367049&ved=0CHgQFjAF&url=http%3A%2F%2Fwww-history.mcs.st-and.ac.uk%2FHistTopics%2FFund_theorem_of_algebra.html&ei=0RxfT_WcDqPm2gXjrY2tCA&usg=AFQjCNEPG--WOLL77Khc03qdKADSRxJrLw&sig2=ygQe9Z3pJIfoWqeZo0OmTA
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