Horacio: marzo 2012

martes, 13 de marzo de 2012

BISECCION

El método de la bisección o corte binario es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo donde exista cambio de signo. El proceso se repite hasta mejorar la aproximación.

Paso 1

Elegir los valores iniciales Xa y Xb, de tal forma de que la función cambie de signo:

f(Xa)f(Xb) < 0

Paso 2

La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula del punto medio de esta forma:

Paso 3

Realizar las siguientes evaluaciones para determinar el intervalo de la raíz:

Si f(Xa)f(Xb) < 0, entonces la solución o raíz está entre Xa y Xpm, y Xb pasa a ser el punto medio (Xpm).

Si f(Xa)f(Xb) > 0, entonces la solución o raíz está fuera del intervalo entre Xa y el punto medio, y Xa pasa a ser el punto medio (Xpm).

Paso 4

Si f(Xa)f(Xb) = 0 ó Error = | Xpm – Xpm – 1 | < Tolerancia

Donde Xpm es el punto medio de la iteración actual y Xpm – 1 es el punto medio de la iteración anterior.

Al cumplirse la condición del Paso 4, la raíz o solución es el último punto medio que se obtuvo.

Para el error relativo porcentual se tiene la siguiente fórmula:

http://lc.fie.umich.mx/~calderon/programacion/notas/Bisecciones.html
http://www.vidaamarilla.com/2009/01/mtodos-numricos-mtodo-de-la-biseccin.html
http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/ec_nolineales_biseccion.htm

MÉTODOS PARA ENCONTRAR RAICES REALES

Existen diversos metodos para poder encontrar raices reales en una funcion, aqui se mostrara una lista de ellos, solo se mostrara con pocos detalles cada metodo, mas adelante se hablara con mas detalle cada metodo.

METODOS PARA ENCONTRAR RAICES

LEY DE LOS SIGNOS DE DESCARTES

La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el número posible de raices reales de un polinomio p(x) sin graficar o resolverlas realmente. Dese cuenta por favor que esta regla no proporciona el número exacto de raíces del polinomio ni identifica las raíces del polinomio.

La regla establece que el número posible de las raíces positivas de un polinomio es igual al número de cambios de signo en los coeficientes de los términos o menor que los cambios de signo por un múltiplo de 2.

Por ejemplo, si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los términos del polinomio, entonces el número posible de raíces positivas del polinomiao es 3 o 1.

[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes, asegúrese de arreglar los términos del polinomio en orden descendente de exponente]

Ejemplo:

Encuentre el número de las raíces positivas del polinomio.

x³ + 3 x²– x – x⁴– 2

Arregle los términos del polinomio en orden descendente de los exponentes:

– x⁴ + x³ + 3 x²– x – 2

Cuente el número de cambios de signo:

Hay 2 cambios de signo en el polinomio, así que el número posible de raíces positivas del polinomio es 2 o 0.

Corolario de la regla de los signos de Descartes:

Primero reescriba el polinomio dado al sustituir – x por x . Esto es igual a anular los coeficientes de los términos de las potencias impares.

La regla del corolario establece que el número posible de las raíces negativas del polinomio original es igual al número de cambios de signo (en los coeficientes de los términos después de anular los términos de las potencias impares) o menor que los cambios de signo por un múltiplo de 2.

Ejemplo

Encuentre el número posible de raíces reales del polinomio y verifique.

x³– x²– 14 x + 24

Los términos del polinomio ya están en el orden descendente de exponentes.

Cuente el número de cambios de signo:

Hay 2 cambios de signo en el polinomio y el número posible de raíces positivas del polinomio es 2 o 0.

Digamos que el polinomio dado es f(x) y sustituya – x por x en el polinomio y simplifique:

Cuente el número de cambios de signo:

Hay 1 cambio de signo en el segundo polinomio. Así, del corolario de la regla de los signos de Descartes, el número posible de raíces negativas del polinomio original es 1.

El polinomio puede ser reescrito como: ( x – 2)( x – 3)( x + 4)

Podemos verificar que hay 2 raíces positivas y 1 raíz negativa del polinomio dado.

Dese cuenta por favor que las raíces repetidas de un polinomio son contadas por separado.

Por ejemplo, el polinomio

( x – 2)² , que puede ser escrito como x²– 2 x + 1, tiene 2 cambios de signo. Por lo tanto, el polinomio tiene 2 raíces positivas.

http://www.scribd.com/doc/22392553/Ley-de-Signos-de-Descartes
http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/descartes-rule-of-signs.html
http://1cm1.site11.com/algebra/algebra3d/DETERMINACION_DE_RAICES.pdf

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

El Teorema Fundamental del Algebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalua a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creibles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a continuación uno de estos argumentos.
Consideremos entonces un polinomio P(z) cualquiera de grado n. Luego, su n-ésimo coeficiente P_n no puede ser igual a 0. Si P(0)=0, estarímos listos pues tendríamos que 0 es una raíz de P. Supondremos entonces que se tiene el caso no trivial, es decir, que P(0) no es 0. Notar que esto significa que P₀ es distinto de 0, puesto que P(0)=P₀.
Sea C_r al conjunto de números complejos de módulo r, i.e., C_r= { z : |z|=r }. Geométricamente dichos números están ubicados en un círculo de radio r en torno al origen del plano complejo. Por ejemplo, si r=1, entonces C_r es:

Sea además P(C_r) la imágen a través de P de C_r, i.e., P(C_r)={ P(z) : |z|=r }. Observar que P(C_r) es una curva cerrada. ¿Porqué? Observar también que si r es suficientemente pequeño (cuán pequeño dependerá de los valores de los coeficientes del polinomio P), entonces todo elemento de P(C_r) estará muy cerca de P₀ en el plano complejo y el origen del plano complejo estará en el "exterior" de la curva P(C_r). ¿Porqué? Por ejemplo, si P(z)=(2+2I)-1.5*·z+2I·z²+I·z³ y r=0.75, entonces P(C_r) es:

Por el contrario, si R es suficientemente grande (nuevamente, cuán grande dependerá de los valores de los coeficientes del polinomio P), entonces P(C_R) se parecerá a n círculos del plano complejo centrados en P₀ y el origen del plano complejo estará en el "interior" de P(C_R). ¿Porqué? Por ejemplo, si P(z)=(2+2I)-1.5*·z+2I·z²+I·z³ y R=8.0, entoncesP(C_R) es:

Si hacemos que µ varíe entre r y R en forma contínua y estamos dispuestos a aceptar que en dicho caso P(C_µ) varía en forma contínua desde P(C_r) a P(C_R), tendremos que el origen pasa de estar al "exterior" de la curva inicial al "interior"de la curva final --- necesariamente en alguno de los valores intermedios de µ, tiene que suceder que P(C_µ) pasa sobre el origen, i.e., existe un valor de z para el cual el polinomio P(z) se anula o lo que es lo mismo, P(z) posee una raíz. Se concluye que el TFA aplica a P(z) como queríamos comprobar.

http://www.ugr.es/~eaznar/FTA.htm
http://www.dim.uchile.cl/~mkiwi/applets/tfa/
http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&cts=1331633367049&ved=0CHgQFjAF&url=http%3A%2F%2Fwww-history.mcs.st-and.ac.uk%2FHistTopics%2FFund_theorem_of_algebra.html&ei=0RxfT_WcDqPm2gXjrY2tCA&usg=AFQjCNEPG--WOLL77Khc03qdKADSRxJrLw&sig2=ygQe9Z3pJIfoWqeZo0OmTA

GRAFICADOR XY

Graficador XY

En el modo gráfico existe una enorme cantidad de funciones que realizan desde la tarea mas sencilla como es pintar un píxel, hasta la tarea mas compleja como pudiera ser dibujar un carácter por medio de trazos.
Para trabajar el modo gráfico es necesario incluir la librería graphics.h como hacer uso de la BGI (Borlan Graphics Interphase). Para usar cualquier función es necesario colocar el adaptador de video en modo grafico y esto se logra a través de la función initgraph(); y al terminares necesario regresar al modo original a través de la función closegraph();

Para iniciar un programa en ambiente gráfico es recomendable correr una subrutina de inicialización de gráficos y detección de errores.Algunos ejemplos de las funciones que se pueden encontrar en la librería de gráphics.h son:
Line(); circle(); arc(); elipse();rectangle(); ottextxy(); putpixel();Para saber mas de las funciones de la librería de gráficos lo pueden buscar en el índice de turbo C.

ESTRUCTURA DEL PROGRAMA

#include <graphics.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
int main(void)
{
VARIABLES PARA INICIALIZAR MODO GRAFICO
int gdriver = DETECT, gmode, errorcode;
INICIALIZAR MODO GRAFICO
initgraph(&gdriver, &gmode, "");
DETECTA SI HAY ALGUN ERROR PARA USAR MODO GRAFICO
errorcode = graphresult();
if (errorcode != grOk)
{
printf("Graphics error: %s\n", grapherrormsg(errorcode));
printf("Press any key to halt:");
getch();
exit(1);
}
line(0, 0, 50,50 ); DIBUJA UNA LINEA
getch();
closegraph(); CERRAR MODO GRAFICO
return 0;
}
FUNCIONES PARA DIBUJAR
cleardevice(void); LIMPIA LA PANTALLA
setcolor(int color); COLOR DE LINEA
setbkcolor(int color); COLOR DE FONDO (PANTALLA)

TAMAÑO O RESOLUCION DE LA PANTALLA 640X480 PIXELS
line(int x1, int y1, int x2, int y2); DIBUJA UNA LINEA
rectangle(int left, int top, int right, int bottom); DIBUJA UN RECTANGULO
rectangle(izqierda,arriba,derecha,abajo);

putpixel(int x, int y, int color); PINTA UN PIXEL
outtextxy(int x, int y, char far *textstring); DIBUJA TEXTO
outtextxy(100,100,”Programa 1”);
settextstyle(int font, int direction, int charsize); TIPO DE LETRA A USAR
settextstyle(tipo letra, direccion, tamaño letra);

TIPOS DE LETRA (FONT)
0 DEFAULT_FONT
1 TRIPLEX_FONT
2 SMALL_FONT
3 SANS_SERIF_FONT
4 GOTHIC_FONT
DIRECTION
0 HORIZ_DIR
1 VERT_DIR
settextjustify(int horiz, int vert); JUSTIFICAR TEXTO

HORIZ
0 LEFT_TEXT IZQUIERDA
1 CENTER_TEXT CENTRADO
2 RIGHT_TEXT DERECHA
VERT
0 BOTTOM_TEXT ABAJO
1 CENTER_TEXT CENTRADO
2 TOP_TEXT ARRIBA
RELLENADO DE FIGURAS
floodfill(int x, int y, int border); RELLENAR FIGURA
setfillstyle(int pattern, int color); TIPO DE RELLENO Y COLOR A USAR

http://fooplot.com/?lang=es
http://neoparaiso.com/logo/graficador-de-funciones.html
http://www.soarem.org.ar/Documentos/24%20Leston.pdf

GRAFICACION

La representacion de datos de forma grafica ofrece mensajes mas claros donde las conclusiones son faciles de entender.

Aquello de que una imagen vale mas que mil palabras sigue siendo cierto. En la era de internet se han dado varios pasos en la accesibilidad a la informacion, pero se han dado varios pasos atras en la facilidad de encontrar cosas, entender el contexto y extraer conclusiones.

La representacion de datos de forma grafica ayuda a presentar datos de forma sencilla donde las conclusiones son faciles de entender. Mapas del tiempo, evolucion de la bolsa, el volumen de la television son ejemplos de datos representados con graficos que dificilmente los podemos imaginar en otro formato.

Muchos datos recogidos a traves de internet deberan ser procesados y representados por graficos para que sirvan de alguna ayuda. Comparativas de productos, valoracion de sites, evolucion del trafico, buscadores, favoritos, uso del e-mail.

El principal problema que tiene la representacion de datos es su objetividad y comprension. El proceso de la informacion requiere tomar decisiones sobre que ejes se tendran en cuenta, periodo a mostrar, comparar o no, etc... Estas decisiones pueden hacer que la representacion ofrecida no sea la que la audiencia espera. Por otro lado que el grafico sea facilmente comprensible requerira una cierto "ensayo y error" hasta encontrar el modelo perfecto.

El disponer de la capacidad de proceso junto a un tiempo de "ensayo y error" haran que la informacion sea mas facil de entender y por tanto la toma de decisiones se hara con mayor seguridad y mas rapido. Quizas suene un poco a complicado y caro, pero la representacion de datos se puede hacer desde un presupuesto "cero" usando herramientas como Excel o Illustrator.

2. Tipos de graficos (diferencias, usos).

Descripcion	Ejemplo
Barras / Columnas Este gafico sirve para comparar datos entre diferentes segmentos (sectores, empresas, periodos de tiempo...).
Lineas Ayudan a ver la evolucion de los datos. Por lo general se usan para mostrar un mismo tipo de dato y su evolucion (valor de la accion y el tiempo, numero de ventas y precio).
Tartas Aqui podemos ver la contribucion de cada parte a un total. Este grafico se puede utilizar de forma creativa comparando el tamaño de las tartas entre si y el contenido de las mismas.
Radar En el radar podemos ver la superficie creada por varias variables y asi poder comparar entidades (dos productos que presentan varias caracteristicas pueden ser comparados en su totalidad usando esta grafica).
Stocks Aqui se representan datos con 4 variables (tiempo, maximo, minimo y cierre).
Burbujas Aqui el grid (lineas de division del eje) suele ser una variable por si misma, haciendo que la disposicion de las burbujas represente otras variables junto al propio tamaño de la burbuja. Este tipo de graficas permite concentrar mucha informacion en poco espacio.
Superficies Este grafico se suele usar para ver la evolucion de un dato sujeto a 3 variables. Por ejemplo la dureza de un material dependiendo de la temperatura, densidad y volumen.

Es importante dominar la presentacion para mostrar un mensaje facil de entender. El no ofrecer una conclusion clara hacen que las graficas pierdan su fuerza en nuestra comunicacion.

3. Usando excel se pueden obtener graficos decentes (pero hay que modificar lo que nos sale por defecto).

Un grafico presentado en excel suele tener un aspecto similar a esto.
El uso del 3d. El 3d le puede dar un aspecto mas molon a los graficos, pero hace que la informacion sea dificil de leer y cueste extraer las diferencias. Graficos en 3d tienen usos muy limitados (solo en el ejemplo de superficies estan recomendados). Mejor utilizar graficos en 2d. El mensaje quedara mas claro y facil de entender.
*El fondo, el "grid" y demas lineas*. Para que los graficos brillen lo mejor es disponer de un fondo y un grid de color suave (blanco o grises). Las lineas que contornean al grafico lo mejor es eliminarlas para evitar añadir elementos superflueos al grafico. Un truco para simplificar el fondo es poner el grid de color blanco sobre el grafico de tal forma que solo sea visible cuando lo toca dejando el resto del fondo blanco.
Colores. Sobre los colores a usar en la grafica, lo mejor es experimentar un poco hasta encontrar el contraste necesario. En algunos casos colores diferentes son adecuados, el mismo color pero con diferentes valores tambien puede ayudar. Evitar demasiado contraste o vibracion (rojo y verde, rojo y azul...) hara que la grafica sea facil de leer. Ver ejemplos.
Espesor. Edward Tufte tiene una regla sobre la relacion entre la cantidad de tinta empleada y la informacion mostrada. Esta regla hace referencia a que en muchos casos, se emplea mucha tinta para mostrar poca informacion haciendo las barras espesas, usando degradados, colores solidos en el fondo, etc... Se debe tender a minimizar el uso de tinta por dato mostrado, empleando barras mas finas, eliminado los elementos del fondo, etc... El objetivo que se alcanza es el de optimizar la presentacion para una lectura mas clara y sencilla.
Ayuda al lector. Ahora que nuestro grafico esta limpio, podemos añadir mas informacion para que el entender los valores o significado sea mas sencillo.

3. Illustrator es una mejor herramienta para crear gaficas.

Si los graficos que vas a generar van a ser presentados a una audiencia importante y/o la produccion va a ser masiva, Adobe Illustrator es una mejor herramienta.

A partir de la version 9 la produccion de graficas en Illustrator se ha simplificado mucho con la ayuda de un menu dedicado a esta tarea. Illustrator permite modificar cada parametro de la grafica con total control y permite una mejor exportacion del grafico a diferentes formatos, ya sea web, imprenta o power point.

Visita la pagina Adobe.com para tener mas Informacion sobre Illustrator .

4. Un vistazo a algunas herramientas que generan graficos desde bases de datos on-line.

Big Charts
Solo graficos. Bastante potente, interactivo y con historicos de hasta 30 años en el DJIA.

SmartMoney | Tools
Un diseño mas fino y herramientas algo mas inteligentes.

finance.yahoo.com
Yahoo! Finanzas es uno de los sitios preferidos. Graficas potentes, con multiples opciones e historicos.

http://www.desarrolloweb.com/articulos/875.php
http://www.vitutor.com/fun/2/a_3.html
http://www.efxto.com/graficos-forex-tipos-caracteristicas

NUMEROS DE PUNTO FLOTANTE EN 32 Y 64 BITS

El estándar de la IEEE para aritmética en coma flotante (IEEE 754) es el estándar más extendido para las computaciones en coma flotante, y es seguido por muchas de las mejoras de CPU y FPU. El estándar define formatos para la representación de números en coma flotante (incluyendo el cero) y valores desnormalizados, así como valores especiales como infinito y NaN, con un conjunto de operaciones en coma flotante que trabaja sobre estos valores. También especifica cuatro modos de redondeo y cinco excepciones (incluyendo cuándo ocurren dichas excepciones y qué sucede en esos momentos).

IEEE 754 especifica cuatro formatos para la representación de valores en coma flotante: precisión simple (32 bits), precisión doble (64 bits), precisión simple extendida (≥ 43 bits, no usada normalmente) y precisión doble extendida (≥ 79 bits, usualmente implementada con 80 bits). Sólo los valores de 32 bits son requeridos por el estándar, los otros son opcionales. Muchos lenguajes especifican qué formatos y aritmética de la IEEE implementan, a pesar de que a veces son opcionales.

Precisión simple 32-bits

Un número en coma flotante de precisión simple se almacena en una palabra de 32 bits. 1 8 23 <-- tamaño en bits

+-+--------+-----------------------+

|S| Exp | Significante |

+-+--------+-----------------------+

31 30 23 22 0 <-- índice del bit (0 a la derecha)

desplazado +127

donde S es el bit de signo y Exp es el campo exponente. (Para el signo: 0=Positivo ; 1= Negativo).

El exponente es desplazado en el un número en precisión simple, un exponente en el rango −126 a +127 es desplazado mediante la suma de 127 para obtener un valor en el rango 1 a 254 (0 y 255 tienen valores especiales descritos más adelante). Cuando se interpreta el valor en coma flotante, el número es desplazado de nuevo para obtener el exponente real.

El conjunto de valores posibles pueden ser divididos en los siguientes:

ceros

números normalizados

números desnormalizados

infinitos

NaN (¬E, no es un número, como por ejemplo, la raíz cuadrada de un número negativo)

Las clases se distinguen principalmente por el valor del campo Exp, siendo modificada ésta por el campo fracción. Considera Exp y Fracción como campos de números binarios sin signo (Exp se encuentra en el rango 0–255):

Clase	Exp	Fracción
Ceros	0	0
Números desnormalizados	0	distinto de 0
Números normalizados	1-254	cualquiera
Infinitos	255	0
NaN (Not a Number)	255	distinto de 0

Clase Exp Fracción
Ceros 0 0
Números desnormalizados 0 distinto de 0
Números normalizados 1-254 cualquiera
Infinitos 255 0
NaN (Not a Number) 255 distinto de 0

Para números normalizados, los más comunes, Exp es el exponente desplazado y Fracción es la parte fraccional del significante (o significando). El número tiene valor v:

v = s × 2e × m

Donde

s = +1 (números positivos) cuando S es 0

s = −1 (números negativos) cuando S es 1

e = Exp − 127 (en otras palabras, al exponente se le suma 127 y se almacena, a esto también se le llama "biased with 127" en inglés)

m = 1,Fracción en binario (esto es, el significando es el número binario 1 seguido por la coma decimal seguido por los bits de Fracción). Por lo tanto, 1 ≤ m < 2.

http://php.net/manual/es/language.types.float.php
http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/numeros_punto_flotante.htm
http://steve.hollasch.net/cgindex/coding/ieeefloat.html

ERROR RELATIVO Y ABSOLUTO

Error absoluto y error relativo

Presentamos aquí una serie de medidas que se usan para controlar los errores en los cálculos aproximados.

Error absoluto: Es la diferencia (en valor absoluto) entre el valor exacto y el aproximado. Tiene las mismas unidades que los valores que se usan.

Cota de error: Es la longitud del intervalo, en torno al valor aproximado, en el que puede encontrarse el valor exacto. Esta medida se usa cuando no se conoce el valor exacto.

Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. No tiene unidades y puede expresarse también en forma de porcentaje. Cuando el valor exacto no se conoce, el error relativo se puede calcular dividiendo la cota de error por el valor aproximado.

http://ocw.uniovi.es/file.php/54/T6MaterConsulta/FAQ.html#Q1.01
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena1/3quincena1_contenidos_5b.htm
http://www.gepsoft.com/gxpt4kb/Chapter10/Section2/SS15.htm

EXACTITUD Y PRECISION

EXACTITUD Y PRECISIÓN

Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su precisión y exactitud. La precisión se refiere a 1) el numero de cifras significativas que representa una cantidad o 2) la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

DIFERENCIA ENTRE EXACTITUD Y PRECISION

Los conceptos de exactitud y precision son diferentes, pero no en cuanto a prestaciones o a perfección. Son dos conceptos matemáticos.

De la Teoría de Errores creo recordar que exactitud es la proximidad al valor verdadero, mientras que la precisión hace referencia a la dispersión de los valores de los ensayos.

Explicado con un ejemplo:

Supongamos dos relojes que en 15 días dan los siguientes resultados:

Reloj Nº1: -1 +1 +0 -2 +1 -1 -1 +2 +1 -2 +0 +1 -1 +0 +1

Reloj Nº2: +3 +3 +3 +2 +3 +3 +2 +2 +3 +2 +3 +2 +2 +2 +3

El Reloj Nº1 es un reloj más exacto porque sus errores con respecto al valor verdadero de la magnitud a medir (un día) es menor que los errores del reloj Nº2.

Sin embargo EL Reloj Nº2 es un reloj más preciso, ya que consistentemente está adelantando lo mismo.

El Reloj Nº1 es difícilmente ajustable para mejorar sus resultados, ya que su marcha es errática, mientras que el reloj Nº2 tiene un error subsanable.

Esa es la diferencia entre exactitud y precisión

http://boards5.melodysoft.com/Classics/la-diferencia-entre-exactitud-y-precision-28.html
http://www.upaep.cesat.com.mx/index.php?option=com_content&view=article&id=28:exactitud-y-precision&catid=11:metrologia&Itemid=14
http://www.uv.es/EBRIT/macro/macro_5004_69_3.html

SERIE DE TAYLOR Y MC LAURIN

SERIE DE TAYLOR

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

o expresado de otra forma

Donde n! : es el factorial de n
F(n) : es la enésima derivada de f en el punto a

Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

La ecuación para el término residual se puede expresar como:

Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.

SERIE DE MC LAURIN

En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma: sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^(n)(a)}{n!} (x-a)^{n}

Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

* La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.

* Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

* Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

TIPOS DE ERRORES

A lo largo del tiempo, los métodos numéricos han sido desarrollados con el objeto de resolver problemas matemáticos cuya solución es difícil o imposible de obtener por medio de los procedimientos tradicionales.

Las soluciones que ofrecen los métodos numéricos son aproximaciones de los valores reales y, por tanto se tendrá un cierto grado de error que será conveniente determinar. Las aproximaciones numéricas pueden introducir errores la pregunta es ¿Qué error puede considerarse tolerable?

DEFINICIÓN DE ERROR

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Esto incluye errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matematico exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado esta dado por :

Valor verdadero = valor aproximado + error ( Ec.1 )

Reordenando la ecuación Ec.1, se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado esto es :

Ev = valor verdadero – valor aproximado

Donde Ev se usa para redondear el valor exacto del error. Se incluye el subíndice v par dar a entender que se trata del “verdadero” error. Un defecto es que muchas veces no se toma en consideración el orden de

magnitud del valor que se esta probando . Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho mas significativo si se esta midiendo un remache que un puente. Una manera de medir las magnitudes de las cantidades que se

están evaluendo es normalizar el error respecto al valor verdadero, como en:

Error relativo fraccional = error / valor verdadero

Donde: Error = valor verdadero – valor aproximado.

El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:

Ev = (error verdadero/ valor verdadero ) 100

Donde Ev denota el error relativo porcentual. El subíndice v significa la normalización del error al valor verdadero . Para los métodos numéricos el valor verdadero únicamente se conocerá cuando se habla de funciones que se pueden resolver analíticamente. Sin embargo, en aplicaciones reales, no se conoce la respuesta verdadera. En estos casos, normalizar el error es una alternativa usando la mejor estimación posible del valor verdadero, esto es a la aproximación misma, como:

Ea = (error aproximado/ valor aproximado)100

Donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado .Uno de los retos a que se enfrentas los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia de conocimiento de los valores verdaderos. El error se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual está dado por:

Ea =abs( ((aproximación actual- aproximación previa )/ aproximación actual) 100)

Si se cumple la relación anterior , entonces se considera que el resultado obtenido esta dentro del nivel aceptable, es decir, aun error previamente fijado.

ERROR POR REDONDEO

Es aquel tipo de error en donde el número significativo de dígitos después del punto decimal se ajusta a un número específico provocando con ello un ajuste en el último dígito que se toma en cuenta. Los errores de redondeo resultan de representar aproximadamente números que son exactos. Proceso mediante el cual se eliminan decimales poco significativos a un número decimal.

ERROR POR TRUNCAMIENTO

Para llevar a cabo operaciones de algunas funciones matemáticas los compiladores ejecutan estas funciones utilizando series infinitas de términos, pero es difícil llevar a cabo estos cálculos hasta el infinito, por lo tanto la serie tendrá que ser truncada. Truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del punto decimal, descartando los menos significativos.

ERRORES POR EQUIVOCACIÓN

En los primeros años de la computación los resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la computadora misma. Hoy dia esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se atribuye a errores humanos. Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de modelación matematica y pueden contribuir con todas las otras componentes del error. Las equivocaciones, por lo general se pasan por alto en la discución del método numérico. Esto sin duda prueba el hecho de que los errores de torpeza son, hasta cierto punto inevitables.

ERRORES DE FORMULACIÓN

Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto, ya que si se esta usando un modelo deficiente, ningún método numérico generara los resultados adecuados.

¿QUE ES ANÁLISIS NUMÉRICO?

El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.

En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número de pasos finitos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para calculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.

Desde esta perspectiva, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos los procedimientos matemáticos existentes en base a algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

Horacio

martes, 13 de marzo de 2012

BISECCION

MÉTODOS PARA ENCONTRAR RAICES REALES

LEY DE LOS SIGNOS DE DESCARTES

Corolario de la regla de los signos de Descartes:

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

GRAFICADOR XY

GRAFICACION

NUMEROS DE PUNTO FLOTANTE EN 32 Y 64 BITS

ERROR RELATIVO Y ABSOLUTO

EXACTITUD Y PRECISION

SERIE DE TAYLOR Y MC LAURIN

TIPOS DE ERRORES

¿QUE ES ANÁLISIS NUMÉRICO?

Datos personales

Archivo del blog