METODO DE GAUSS JORDAN

Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.

El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500

0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3

0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000

Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes como una matriz aumentada.

Se normaliza el primer renglón dividiendo entre 3 para obtener:

El término X1 se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primero del segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina el término con X1 del tercer renglón.

En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.00333:

Reduciendo los términos en X2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:

El tercer renglón se normaliza dividiendolo entre 10.010:

Finalmente, los términos con X3 se pueden reducir de la primera y segunda ecuación para obtener:

Nótese que no se necesita sustitución hacia atrás para obtener la solución.

Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan.

Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el mé todo simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa.

Cita:

http://www.mitecnologico.com/Main/MetodoDeGaussJordan

http://proton.ucting.udg.mx/~jnorato/materias/metodos/matrix/gj/Gaussjor.htm

http://www.educared.org/global/premiointernacional/finalistas/710/formulas/Fjordan.html

METODO DE GAUSS

El método de Gauss resuelve un sistema de ecuaciones lineales de forma simultánea. El método consiste de dos fases. La primera fase se le conoce como “eliminación hacia adelante”, debido a que realiza una eliminación de coeficientes comenzando de arriba hacia abajo, hasta dejar una matriz de coeficientes del tipo triangular superior. La segunda se le conoce como “sustitución hacia atrás”, por que se parte de la última ecuación del sistema, para despejar la incógnita, la cual, ya se puede resolver debido a que en esa última ecuación únicamente se desconoce una incógnita, por el hecho de tener un sistema de ecuaciones de tipo matriz triangular superior

La 1ª ecuación siempre se deja igual, (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x .

Una vez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación

De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B’’ resulta
- y + 9•2 = 13 Þ y = 5
y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que :
2x + 3•5 – 7•2 = -1 Þ x = -1
Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2) 
Clasificación de los sistemas: 
Los sistemas de ecuaciones pueden ser de 3 tipos: 
1. Sistema compatible determinado (S.C.D.) : una única solución 
2. Sistema compatible indeterminado (S.C.I.) : infinitas soluciones 
3. Sistema incompatible (S.I.) : no tiene solución.

Cita:

http://maxwell.fcaglp.unlp.edu.ar/modalidad/programa-anyp.pdf

http://www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/JORDAN.pdf

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

•  Ecuaciones lineales con más de dos variables.
  Para sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables, podemos usar el método de eliminación por sustitución o el método de eliminación por suma o resta (por adición o sustracción).
  El método de eliminación por suma o resta es la técnica más breve y fácil de hallar soluciones. Además, lleva la técnica de matrices que se estudia en esta sección.
  Cualquier sistema de ecuaciones lineales con tres variables tiene una solución única, un número infinito de soluciones o no tiene solución.
  Método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones lineales:
  Ejemplo:
  Resuelve el sistema:
  x + 2y + 3z = 9 …………………………….. (primer ecuación)
  4x + 5y + 6z = 24 …………………………. (segunda ecuación)
  3x + y - 2z = 4 ……………………………. (tercera ecuación)
  Solución:
  Suma −4 veces la “primera ecuación” a la “segunda”:
  [x + 2y + 3z = 9]−4 → −4x −8y −12z =−36

                           4x +5y + 6z = 24
  
                            0 −3y - 6z = −12
  

  Suma −3 veces la “primera ecuación” a la “tercera”:
  x + 2y + 3z = 9
  -3y - 6z = −12
  -5y - 11z = −23
  Multiplica por -(1÷ 3) la “segunda ecuación”:
  x + 2y + 3z = 9
  y + 2z = 4
  -5y −11z = −23
  Multiplica por −1 la “tercera ecuación”:
  x + 2y + 3z = 9
  y + 2z = 4
  5y +11z = 23
  Suma −5 veces la “segunda ecuación” a la “tercera”:
  x + 2y + 3z = 9
  y + 2z = 4
  z = 3
  Las soluciones del último sistema son fáciles de hallar por sustitución. De la “tercera ecuación”, vemos que z = 3. Al sustituir “z” con 3 en la “segunda ecuación”, y + 2z = 4 obtenemos y = −2. Por último, encontramos el valor de “x” al sustituir y = −2 y z = 3, en la “primera ecuación”, x + 2y + 3z = 9 con lo cual x = 4. Por tanto, hay una solución:
  x = 4,
  y = −2,
  z = 3.
  Si analizamos el método de solución, vemos que los símbolos usados para las variables carecen de importancia; debemos tomar en cuenta los coeficientes de las variables. Puesto que esto es verdadero, es posible simplificar el proceso. En particular, introducimos un esquema a fin de seguir los coeficientes en forma tal que no haya necesidad de escribir las variables.
  Con referencia al sistema anterior, primero comprobamos que las variables aparezcan en el mismo orden en cada ecuación y que los términos sin variables estén a la derecha de los signos de igualdad. En seguida anotamos los números que intervienen en las ecuaciones de esta forma:
  Una ordenación de números de este tipo se llama matriz.
  Los renglones (o filas) de la matriz son los números que aparecen uno a continuación del otro en sentido horizontal:
  1 2 3 4 primer renglón R1
  4 5 6 24 segundo renglón R2
  3 1 −2 4 tercer renglón R3
  Las columnas de la matriz son los números que aparecen uno junto del otro en sentido vertical
  Primera columna C1 Segunda columna C2 Tercera columna C3 Cuarta columna C4
  1 2 3 9
  4 5 6 24
  3 1 −2 4
  La matriz obtenida del sistema de ecuaciones lineales del modo anterior es la matriz del sistema. Si borramos la última columna, la restante ordenación es la matriz de coeficiente. En vista de que podemos tener la matriz del sistema a partir de la matriz coeficiente agregando una columna, le decimos matriz coeficiente aumentada o simplemente matriz aumentada. Después, cuando usemos matrices para hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, introduciremos un segmento de línea vertical en la matriz aumentada a fin de indicar dónde aparecerían los signos de igualdad en el sistema de ecuaciones correspondiente.
  Sistema Matriz coeficiente Matriz aumentada
  Antes de estudiar un método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales, daremos una definición general de matriz.
  Definición de matriz.
  Sean m y n enteros positivos. Una matriz de m x n (se lee “m” por “n”), es una matriz de la siguiente forma, donde cada aij es un numero real.
  Ejemplos:
  Sea la matriz:
  por tanto, es una “matriz de orden 2 x 3.”
  Sea la matriz:
  por tanto, es una “matriz de orden 3 x 1.”
  Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices.
  Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si:
  a) Se intercambian dos renglones. Símbolo: Ri Rj.
  b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. Símbolo: kRi Ri.
  c) Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón. Símbolo: kRi + Rj Rj.
  Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
• Antes de ver que es un sistema de ecuaciones lineales, debemos recordar ¿Qué es una ecuación lineal? Ecuación lineal: Es aquella ecuación algebraica cuyo máximo exponente de la(s) variable(s) es uno. Por ejemplo: a) 2x + 5 = 17 (Ecuación lineal con una variable) b) 2x + y = 6 (Ecuación lineal con dos variables)
• Una vez que recordamos lo que es una ecuación lineal, ahora veremos lo que es un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales: Son varias ecuaciones lineales que se resuelven simultáneamente, y comparten la o las soluciones (Si es que hay solución). Por ejemplo: a) x + 1 = 7 x = 6 (Sistema 2 ecuac. X 1 incogn.)
• 
  
• Cita:
• http://www.mitecnologico.com/Main/DefinicionSistemasEcuacionesLineales
• http://www.fimee.ugto.mx/profesores/oibarra/documentos/AlgebraLinealTema1_1-1_3.pdf
• http://esfm.egormaximenko.com/linalg/syslineq_homogen.pdf
• 
  

METODOS PARA RAICES COMPLEJAS

A manera de ejemplo, he tomado la ecuación:

x^2 -4x+5

Ahora, refiriéndome a la Figura 1 del post, lo que se haces es:

1) Reflejar la gráfica de la cuadrática original (curva azul en la Fig.) desde el vértice, en la Fig. la nueva curva es roja.

2) Encontrar donde la nueva gráfica intercepta al eje X, que en la Fig. se marcó con puntos rojos.

3) Finalmente, estos puntos rojos (puntos de intercepción) corresponden también a los extremos opuestos en un círculo, por lo cual los hacemos rotar 90 grados (no salimos del circulo). Estos nuevos puntos (marcados en la Fig. con estrellas azules) deben ser interpretados en el plano complejo (ya no más en el plano cartesiano de los números reales) para que correspondan a las raíces de la ecuación original. en este caso, las raíces complejas son: 2+i y 2-i.

Efectivamente, todas las parábolas que carecen de raíces reales, cuentan con raíces complejas las que muestran una simetría alrededor de la componente real de la raíz (en este caso el 2). Estas dos raíces son números conjugados complejos.

Por supuesto, muestro este método como una alternativa complementaria para discutir, en torno al tema de las raíces complejas. Es muy probable que no sea el método más rápido para calcular las raíces, pero seguro si es el método más visual que requiere menos algebra en el pizarrón. :)

Finalmente, a continuación les dejo el código Matlab que utilicé para generar las gráficas y puntos. Es un primer intento, pues se puede mejorar mucho para convertir el código en una función completa y flexible.

%% inicio del guion Matlab
clc
clear
close all
% valores por defecto
a =1;
b= -4;
c=5;
x =.5:0.01:3.5; % intervalo para vizualizar
y = a*x.^2 + b*x + c; % parabola original
minimo = min(y); % vertice de la parabola
y_espejo = -y + 2*min(y); %reflejo de la parabola original
Posicion_de_ceros =find(y_espejo == 0); % identifica a las etiquetas
raices_reales_espejo=x(Posicion_de_ceros); %encuentra las raices de la parabola espejo
radio_circulo = abs((x(Posicion_de_ceros(2))- x(Posicion_de_ceros(1)))/2);
centro_circulo = x(Posicion_de_ceros(1))+radio_circulo;
raiz_uno = radio_circulo;
raiz_dos = -radio_circulo;
% dibujando el circulo
o=-pi:0.001:pi;
r = radio_circulo;
k = 0; % por la definicion de la raiz
h = centro_circulo;
xx=r*cos(o)+h;
yy=r*sin(o)+k;
hold on
plot(x, y, 'b', 'LineWidth',5)
plot(x, y_espejo, 'r', 'LineWidth',3)
plot(xx,yy,'--g', 'LineWidth',1.5)
plot(raices_reales_espejo, [0,0], 'o','MarkerEdgeColor','r',...
'MarkerFaceColor','r','MarkerSize',10)
plot([centro_circulo centro_circulo], [raiz_uno raiz_dos], 'p', 'MarkerEdgeColor','b',...
'MarkerFaceColor','b','MarkerSize',15)
axis equal
grid on
hold off
%% fin del guion

Cita:

 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/raices/graeffe/graeffe.htm
http://noosfera.indivia.net/metodos/secante.html

NEWTON-RAPHSON (SECANTE)

En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es unalgoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

Este método se puede obtener mediante el siguiente gráfico:

Si el valor inicial de la raíz es xi , podemos trazar una tangente desde el punto { xi, f(xi) }.

El punto donde está tangente cruza el eje x, representa una aproximación de la raíz.

De la figura la primera derivada es x , es equivalente a la pendiente.

f´(x) = f(xi) - 0

xi - xi + 1

Reordenando:

Xi +1 = xi - f(xi) Fórmula de Newton-Raphson ( 2.9 )

f´( xi )

Esta ecuación también puede obtenerse mediante la serie de Taylor.

f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h2+ f”'(xi)h3 + .....fn(xi)hn

2! 3! n!

Truncando la serie de Taylor hasta la primera derivada:

f(x1 +1) = f(xi) +f´(xi) (x1 +1 - xi)

en el que se intersecta con el eje x, f(x1 +1) = 0

0 = f(xi) +f´(xi) (x1 +1 - xi)

Xi +1 = xi - f(xi) que es la ec. ( 2.9 )

Cita:

http://www.epsem.upc.edu/~fpq/ale-hp/modulos/aplicaciones/newton.pdf

http://www.dgf.uchile.cl/~ma33a/Jaime/newton_raphson_method.htm

http://www.math.ubc.ca/~anstee/math184/184newtonmethod.pdf

PUNTO FIJO (REGLA FALSA)

En cálculo numérico, el método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante

Se busca una solución de la ecuación f(x) = 0, una raíz de f. Como en el método de bisección, se parte de un intervalo inicial [a₀,b₀] con f(a₀) y f(b₀) de signos opuestos, lo que garantiza que en su interior hay al menos una raíz. El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo más pequeño [a_k, b_k] que sigue incluyendo una raíz de la función f.

A partir de un intervalo [a_k, b_k] se calcula un punto interior c_k:

Dicho punto es la intersección de la recta que pasa por (a,f(a_k)) y (b,f(b_k)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el método de la secante).

Se evalúa entonces f(c_k). Si es suficientemente pequeño, c_k es la raíz buscada. Si no, el próximo intervalo [a_k+1, b_k+1] será:

• [a_k, c_k] si f(a_k) y f(c_k) tienen signos opuestos;
• [c_k, b_k] en caso contrario.

Es quema gráfico de la convergencia de la iteración del punto fijo:

Use el método de aproximaciones sucesivas ( iteración del punto fijo para localizar la raíz de f (x) = e-x - x, x0 = 0, Ea = 0.5% )

X = e-x = g ( x )

X1 + 1 = e-xi

X0 = 0, x1 = e-0 = 1 ; x1 = 1

X2 = e-x1 = e-1 = 0.367879

X3 = e-x2 = e-0.367879 = 0.692200

X4 = e-x3 = e-0.692200 = 0.500473

X5 = e-x4 = e-0.500473 = 0.606243

X6 = e-x5 = e-0.606243 = 0.545396

X7 = e-x6 = e-0.545396 = 0.579612

I	xi	Ea (%)
0	1	171.83
1	0.367879	46.9
2	0.692200	38.3
3	0.500473	17.4
4	0.606243	*
*	0.579612	*
12	0.566400	0.355

Cita:

http://serdis.dis.ulpgc.es/~maleman/an/PDF/Apuntes%20AN%202005-06.pdf

https://sites.google.com/site/vadanalisisnumerico/codigos/metodosporintervalosocerrados/metodo-3---regla-falsa

http://www.myetymology.com/encyclopedia/Method_of_the_false_rule.html

BISECCION

El método de la bisección o corte binario es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo donde exista cambio de signo. El proceso se repite hasta mejorar la aproximación.

Paso 1

Elegir los valores iniciales Xa y Xb, de tal forma de que la función cambie de signo:

f(Xa)f(Xb) < 0

Paso 2

La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula del punto medio de esta forma:

Paso 3

Realizar las siguientes evaluaciones para determinar el intervalo de la raíz:

Si f(Xa)f(Xb) < 0, entonces la solución o raíz está entre Xa y Xpm, y Xb pasa a ser el punto medio (Xpm).

Si f(Xa)f(Xb) > 0, entonces la solución o raíz está fuera del intervalo entre Xa y el punto medio, y Xa pasa a ser el punto medio (Xpm).

Paso 4

Si f(Xa)f(Xb) = 0 ó Error = | Xpm – Xpm – 1 | < Tolerancia

Donde Xpm es el punto medio de la iteración actual y Xpm – 1 es el punto medio de la iteración anterior.

Al cumplirse la condición del Paso 4, la raíz o solución es el último punto medio que se obtuvo.

Para el error relativo porcentual se tiene la siguiente fórmula:

Cita:

http://lc.fie.umich.mx/~calderon/programacion/notas/Bisecciones.html
http://www.vidaamarilla.com/2009/01/mtodos-numricos-mtodo-de-la-biseccin.html
http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/ec_nolineales_biseccion.htm

MÉTODOS PARA ENCONTRAR RAICES REALES

Existen diversos metodos para poder encontrar raices reales en una funcion,  aqui se mostrara una lista de ellos, solo se mostrara con pocos detalles cada metodo, mas adelante se hablara con mas detalle cada metodo.

METODOS PARA ENCONTRAR RAICES

Regla falsa 

Biseccion

Grafico

Punto fijo

Newton Raphson

Secante

LEY DE LOS SIGNOS DE DESCARTES

La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el número posible de raices reales de un polinomio p(x) sin graficar o resolverlas realmente. Dese cuenta por favor que esta regla no proporciona el número exacto de raíces del polinomio ni identifica las raíces del polinomio.

La regla establece que el número posible de las raíces positivas de un polinomio es igual al número de cambios de signo en los coeficientes de los términos o menor que los cambios de signo por un múltiplo de 2.

Por ejemplo, si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los términos del polinomio, entonces el número posible de raíces positivas del polinomiao es 3 o 1.

[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes, asegúrese de arreglar los términos del polinomio en orden descendente de exponente]

Ejemplo:

Encuentre el número de las raíces positivas del polinomio.

x³ + 3 x² – x – x⁴– 2

Arregle los términos del polinomio en orden descendente de los exponentes:

– x⁴ + x³ + 3 x²– x – 2

Cuente el número de cambios de signo:

Hay 2 cambios de signo en el polinomio, así que el número posible de raíces positivas del polinomio es 2 o 0.

Corolario de la regla de los signos de Descartes:

Primero reescriba el polinomio dado al sustituir – x por x . Esto es igual a anular los coeficientes de los términos de las potencias impares.

La regla del corolario establece que el número posible de las raíces negativas del polinomio original es igual al número de cambios de signo (en los coeficientes de los términos después de anular los términos de las potencias impares) o menor que los cambios de signo por un múltiplo de 2.

Ejemplo

Encuentre el número posible de raíces reales del polinomio y verifique.

x³– x²– 14 x + 24

Los términos del polinomio ya están en el orden descendente de exponentes.

Cuente el número de cambios de signo:

Hay 2 cambios de signo en el polinomio y el número posible de raíces positivas del polinomio es 2 o 0.

Digamos que el polinomio dado es f(x) y sustituya – x por x en el polinomio y simplifique:

Cuente el número de cambios de signo:

Hay 1 cambio de signo en el segundo polinomio. Así, del corolario de la regla de los signos de Descartes, el número posible de raíces negativas del polinomio original es 1.

El polinomio puede ser reescrito como: ( x – 2)( x – 3)( x + 4)

Podemos verificar que hay 2 raíces positivas y 1 raíz negativa del polinomio dado.

Dese cuenta por favor que las raíces repetidas de un polinomio son contadas por separado.

Por ejemplo, el polinomio

( x – 2)² , que puede ser escrito como x² – 2 x + 1, tiene 2 cambios de signo. Por lo tanto, el polinomio tiene 2 raíces positivas.

Cita:

http://www.scribd.com/doc/22392553/Ley-de-Signos-de-Descartes
http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/descartes-rule-of-signs.html
http://1cm1.site11.com/algebra/algebra3d/DETERMINACION_DE_RAICES.pdf

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

El Teorema Fundamental del Algebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalua a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creibles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a continuación uno de estos argumentos.
Consideremos entonces un polinomio P(z) cualquiera de grado n. Luego, su n-ésimo coeficiente P_n no puede ser igual a 0. Si P(0)=0, estarímos listos pues tendríamos que 0 es una raíz de P. Supondremos entonces que se tiene el caso no trivial, es decir, que P(0) no es 0. Notar que esto significa que P₀ es distinto de 0, puesto que P(0)=P₀.
Sea C_r al conjunto de números complejos de módulo r, i.e., C_r= { z : |z|=r }. Geométricamente dichos números están ubicados en un círculo de radio r en torno al origen del plano complejo. Por ejemplo, si r=1, entonces C_r es:

Sea además P(C_r) la imágen a través de P de C_r, i.e., P(C_r)={ P(z) : |z|=r }. Observar que P(C_r) es una curva cerrada. ¿Porqué? Observar también que si r es suficientemente pequeño (cuán pequeño dependerá de los valores de los coeficientes del polinomio P), entonces todo elemento de P(C_r) estará muy cerca de P₀ en el plano complejo y el origen del plano complejo estará en el "exterior" de la curva P(C_r). ¿Porqué? Por ejemplo, si P(z)=(2+2I)-1.5*·z+2I·z²+I·z³ y r=0.75, entonces P(C_r) es:

Por el contrario, si R es suficientemente grande (nuevamente, cuán grande dependerá de los valores de los coeficientes del polinomio P), entonces P(C_R) se parecerá a n círculos del plano complejo centrados en P₀ y el origen del plano complejo estará en el "interior" de P(C_R). ¿Porqué? Por ejemplo, si P(z)=(2+2I)-1.5*·z+2I·z²+I·z³ y R=8.0, entoncesP(C_R) es:

Si hacemos que µ varíe entre r y R en forma contínua y estamos dispuestos a aceptar que en dicho caso P(C_µ) varía en forma contínua desde P(C_r) a P(C_R), tendremos que el origen pasa de estar al "exterior" de la curva inicial al "interior"de la curva final --- necesariamente en alguno de los valores intermedios de µ, tiene que suceder que P(C_µ) pasa sobre el origen, i.e., existe un valor de z para el cual el polinomio P(z) se anula o lo que es lo mismo, P(z) posee una raíz. Se concluye que el TFA aplica a P(z) como queríamos comprobar.

Cita:

http://www.ugr.es/~eaznar/FTA.htm
http://www.dim.uchile.cl/~mkiwi/applets/tfa/
http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&cts=1331633367049&ved=0CHgQFjAF&url=http%3A%2F%2Fwww-history.mcs.st-and.ac.uk%2FHistTopics%2FFund_theorem_of_algebra.html&ei=0RxfT_WcDqPm2gXjrY2tCA&usg=AFQjCNEPG--WOLL77Khc03qdKADSRxJrLw&sig2=ygQe9Z3pJIfoWqeZo0OmTA

GRAFICADOR XY

Graficador XY

En el modo gráfico existe una enorme cantidad de funciones que realizan desde la tarea mas sencilla como es pintar un píxel, hasta la tarea mas compleja como pudiera ser dibujar un carácter por medio de trazos.
Para trabajar el modo gráfico es necesario incluir la librería graphics.h como hacer uso de la BGI (Borlan Graphics Interphase). Para usar cualquier función es necesario colocar el adaptador de video en modo grafico y esto se logra a través de la función initgraph(); y al terminares necesario regresar al modo original a través de la función closegraph();

Para iniciar un programa en ambiente gráfico es recomendable correr una subrutina de inicialización de gráficos y detección de errores.Algunos ejemplos de las funciones que se pueden encontrar en la librería de gráphics.h son:
Line(); circle(); arc(); elipse();rectangle(); ottextxy(); putpixel();Para saber mas de las funciones de la librería de gráficos lo pueden buscar en el índice de turbo C.

ESTRUCTURA DEL PROGRAMA

#include <graphics.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
int main(void)
{
VARIABLES PARA INICIALIZAR MODO GRAFICO
int gdriver = DETECT, gmode, errorcode;
INICIALIZAR MODO GRAFICO
initgraph(&gdriver, &gmode, "");
DETECTA SI HAY ALGUN ERROR PARA USAR MODO GRAFICO
errorcode = graphresult();
if (errorcode != grOk)
{
printf("Graphics error: %s\n", grapherrormsg(errorcode));
printf("Press any key to halt:");
getch();
exit(1);
}
line(0, 0, 50,50 ); DIBUJA UNA LINEA
getch();
closegraph(); CERRAR MODO GRAFICO
return 0;
}
FUNCIONES PARA DIBUJAR
cleardevice(void); LIMPIA LA PANTALLA
setcolor(int color); COLOR DE LINEA
setbkcolor(int color); COLOR DE FONDO (PANTALLA)

TAMAÑO O RESOLUCION DE LA PANTALLA 640X480 PIXELS
line(int x1, int y1, int x2, int y2); DIBUJA UNA LINEA
rectangle(int left, int top, int right, int bottom); DIBUJA UN RECTANGULO
rectangle(izqierda,arriba,derecha,abajo);

putpixel(int x, int y, int color); PINTA UN PIXEL
outtextxy(int x, int y, char far *textstring); DIBUJA TEXTO
outtextxy(100,100,”Programa 1”);
settextstyle(int font, int direction, int charsize); TIPO DE LETRA A USAR
settextstyle(tipo letra, direccion, tamaño letra);

TIPOS DE LETRA (FONT)
0 DEFAULT_FONT
1 TRIPLEX_FONT
2 SMALL_FONT
3 SANS_SERIF_FONT
4 GOTHIC_FONT
DIRECTION
0 HORIZ_DIR
1 VERT_DIR
settextjustify(int horiz, int vert); JUSTIFICAR TEXTO

HORIZ
0 LEFT_TEXT IZQUIERDA
1 CENTER_TEXT CENTRADO
2 RIGHT_TEXT DERECHA
VERT
0 BOTTOM_TEXT ABAJO
1 CENTER_TEXT CENTRADO
2 TOP_TEXT ARRIBA
RELLENADO DE FIGURAS
floodfill(int x, int y, int border); RELLENAR FIGURA
setfillstyle(int pattern, int color); TIPO DE RELLENO Y COLOR A USAR

Cita:

http://fooplot.com/?lang=es
http://neoparaiso.com/logo/graficador-de-funciones.html
http://www.soarem.org.ar/Documentos/24%20Leston.pdf

GRAFICACION

La representacion de datos de forma grafica ofrece mensajes mas claros donde las conclusiones son faciles de entender.

Aquello de que una imagen vale mas que mil palabras sigue siendo cierto. En la era de internet se han dado varios pasos en la accesibilidad a la informacion, pero se han dado varios pasos atras en la facilidad de encontrar cosas, entender el contexto y extraer conclusiones. 

La representacion de datos de forma grafica ayuda a presentar datos de forma sencilla donde las conclusiones son faciles de entender. Mapas del tiempo, evolucion de la bolsa, el volumen de la television son ejemplos de datos representados con graficos que dificilmente los podemos imaginar en otro formato. 

Muchos datos recogidos a traves de internet deberan ser procesados y representados por graficos para que sirvan de alguna ayuda. Comparativas de productos, valoracion de sites, evolucion del trafico, buscadores, favoritos, uso del e-mail. 

El principal problema que tiene la representacion de datos es su objetividad y comprension. El proceso de la informacion requiere tomar decisiones sobre que ejes se tendran en cuenta, periodo a mostrar, comparar o no, etc... Estas decisiones pueden hacer que la representacion ofrecida no sea la que la audiencia espera. Por otro lado que el grafico sea facilmente comprensible requerira una cierto "ensayo y error" hasta encontrar el modelo perfecto. 

El disponer de la capacidad de proceso junto a un tiempo de "ensayo y error" haran que la informacion sea mas facil de entender y por tanto la toma de decisiones se hara con mayor seguridad y mas rapido. Quizas suene un poco a complicado y caro, pero la representacion de datos se puede hacer desde un presupuesto "cero" usando herramientas como Excel o Illustrator. 


2. Tipos de graficos (diferencias, usos).

Descripcion	Ejemplo
Barras / Columnas Este gafico sirve para comparar datos entre diferentes segmentos (sectores, empresas, periodos de tiempo...).
Lineas Ayudan a ver la evolucion de los datos. Por lo general se usan para mostrar un mismo tipo de dato y su evolucion (valor de la accion y el tiempo, numero de ventas y precio).
Tartas Aqui podemos ver la contribucion de cada parte a un total. Este grafico se puede utilizar de forma creativa comparando el tamaño de las tartas entre si y el contenido de las mismas.
Radar En el radar podemos ver la superficie creada por varias variables y asi poder comparar entidades (dos productos que presentan varias caracteristicas pueden ser comparados en su totalidad usando esta grafica).
Stocks Aqui se representan datos con 4 variables (tiempo, maximo, minimo y cierre).
Burbujas Aqui el grid (lineas de division del eje) suele ser una variable por si misma, haciendo que la disposicion de las burbujas represente otras variables junto al propio tamaño de la burbuja. Este tipo de graficas permite concentrar mucha informacion en poco espacio.
Superficies Este grafico se suele usar para ver la evolucion de un dato sujeto a 3 variables. Por ejemplo la dureza de un material dependiendo de la temperatura, densidad y volumen.

Es importante dominar la presentacion para mostrar un mensaje facil de entender. El no ofrecer una conclusion clara hacen que las graficas pierdan su fuerza en nuestra comunicacion. 


3. Usando excel se pueden obtener graficos decentes (pero hay que modificar lo que nos sale por defecto).

Un grafico presentado en excel suele tener un aspecto similar a esto.
El uso del 3d. El 3d le puede dar un aspecto mas molon a los graficos, pero hace que la informacion sea dificil de leer y cueste extraer las diferencias. Graficos en 3d tienen usos muy limitados (solo en el ejemplo de superficies estan recomendados). Mejor utilizar graficos en 2d. El mensaje quedara mas claro y facil de entender.
El fondo, el "grid" y demas lineas. Para que los graficos brillen lo mejor es disponer de un fondo y un grid de color suave (blanco o grises). Las lineas que contornean al grafico lo mejor es eliminarlas para evitar añadir elementos superflueos al grafico. Un truco para simplificar el fondo es poner el grid de color blanco sobre el grafico de tal forma que solo sea visible cuando lo toca dejando el resto del fondo blanco.
Colores. Sobre los colores a usar en la grafica, lo mejor es experimentar un poco hasta encontrar el contraste necesario. En algunos casos colores diferentes son adecuados, el mismo color pero con diferentes valores tambien puede ayudar. Evitar demasiado contraste o vibracion (rojo y verde, rojo y azul...) hara que la grafica sea facil de leer. Ver ejemplos.
Espesor. Edward Tufte  tiene una regla sobre la relacion entre la cantidad de tinta empleada y la informacion mostrada. Esta regla hace referencia a que en muchos casos, se emplea mucha tinta para mostrar poca informacion haciendo las barras espesas, usando degradados, colores solidos en el fondo, etc... Se debe tender a minimizar el uso de tinta por dato mostrado, empleando barras mas finas, eliminado los elementos del fondo, etc... El objetivo que se alcanza es el de optimizar la presentacion para una lectura mas clara y sencilla.
Ayuda al lector. Ahora que nuestro grafico esta limpio, podemos añadir mas informacion para que el entender los valores o significado sea mas sencillo.

3. Illustrator es una mejor herramienta para crear gaficas.

Si los graficos que vas a generar van a ser presentados a una audiencia importante y/o la produccion va a ser masiva, Adobe Illustrator es una mejor herramienta. 

A partir de la version 9 la produccion de graficas en Illustrator se ha simplificado mucho con la ayuda de un menu dedicado a esta tarea. Illustrator permite modificar cada parametro de la grafica con total control y permite una mejor exportacion del grafico a diferentes formatos, ya sea web, imprenta o power point. 

Visita la pagina Adobe.com para tener mas Informacion sobre Illustrator . 


4. Un vistazo a algunas herramientas que generan graficos desde bases de datos on-line.

Big Charts 
Solo graficos. Bastante potente, interactivo y con historicos de hasta 30 años en el DJIA.
 

SmartMoney  | Tools 
Un diseño mas fino y herramientas algo mas inteligentes.
 

finance.yahoo.com 
Yahoo! Finanzas es uno de los sitios preferidos. Graficas potentes, con multiples opciones e historicos.

Cita:

http://www.desarrolloweb.com/articulos/875.php
http://www.vitutor.com/fun/2/a_3.html
http://www.efxto.com/graficos-forex-tipos-caracteristicas